Solución 1: escribiendo en forma estándar \(x^2-11x+10=0\) y aplicando factorización para el trinomio \(x^2-bx+c=(x-h)(x-k)\) donde \(hk=10\) y \(h+k=11\) \begin{align} &x^2-11x+10=0\\ &\left(x-10\right)\left(x-1\right)=0 \end{align} Igualando cada factor a cero se tiene, $$\left\{\begin{array}{l} x-10=0\Longleftrightarrow x=10\\ x-1=0\Longleftrightarrow x=1\end{array}\right.$$ Puede comprobar que ambas respuestas satisfacen la ecuación \(x^2-11x+10=0\)

Solución 2: el trinomio dado es de la forma \(x^2-bx+c\) cuya factorización es \(x^2-bx+c=(x-h)(x-k)\) para \(hk=28\) y \(h+k=11\), por tanto, \begin{align} &x^2-11x+28=0\\ &(x-7)(x-4)=0\\ &\left\{\begin{array}{l} x-7=0 \Longrightarrow x=7\\ x-4=0 \Longrightarrow x=4 \end{array}\right. \end{align}

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Solución 1: reescribiendo en forma estándar \(3x^2+21x+18=0\) y resolviendo. \begin{align} &3x^2+21x+18=0 ~~~~~\mathrm{Forma~estándar}\\ &x^2+7x+6=0~~~~~~~~~~~\mathrm{Simplificando}\\ &\left(x+6\right)\left(x+1\right)=0~~~~~~ \mathrm{Factorizando} x^2+bx+c=0\end{align} Igualando ahora ambos factores a cero se tiene, $$\left\{\begin{array}{l}x+6=0\Longleftrightarrow x=-6 \\x+1=0\Longleftrightarrow x=-1\\\end{array}\right.$$Solución 2: la expresión ya está en forma estándar así que, $$\begin{align} &4x^2+8x+4=0\\ &x^2+2x+1=0\\ &(x+1)(x+1)=0\\ &\begin{array}{l}x+1=0\Longrightarrow x=-1\\ x+1=0\Longrightarrow x=-1\end{array} \end{align}$$ Note que las raíces son iguales. Esto siempre pasa cuando se tiene un trinomio cuadrado perfecto t.c.p.

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Solución 1: escribiendo la forma estándar \(10x^2+13x-3=0\) factorice el trinomio \(ax^2+bx-c=0\) mediante multiplicación y división. \begin{align} &\frac{(10x)^2+13(10x)-30}{10}=0\\ &(10x+15)(10x-2)=0(10)\\ &(10x+15)(10x-2)=0\\ &\left\{\begin{array}1 10x+15=0 \Longrightarrow 10x=-15~~ \therefore~~ x=-3/2\\ 10x-2=0\Longrightarrow 10x=2 ~~\therefore~~ x=1/5~~~~~~~~~ \end{array}\right.\end{align} Note de los pasos uno y dos, que es irrelevante dividir la ecuación por el coeficiente \(a=10\) ya que este se simplifica en el segundo miembro.

Solución 2: se tiene la forma estándar asíq que factorizando \(ax^2-bx+c=0\), así que, esta es la forma de factorización a emplear. \begin{align} &\frac{(7x)^2-19(7x)-42}7=0\\ &(7x-h)(7x+k)=7(0)\\ &(7x-21)(7x+2)=0\\ &{\rm Resolviendo~cada~factor:}\\ &\left\{\begin{array}1 7x-21=0 \Longrightarrow x=21/7\\ 7x+2=0 \Longrightarrow x=-2/7\end{array}\right.\end{align} Recuerde que es irrelevante dividir la ecuación por el coeficiente \(a=7\) ya que este se simplifica en el segundo miembro.

Solución 3: ordenando para la forma estándar y cambiando signos se tiene, \begin{align} &2x^2-3x-27=0\\ &(2x)^2-3(2x)-54=0\\ &(2x-9)(2x+6)=0\\ &\left\{\begin{array}i 2x-9=0 \Longrightarrow x=9/2\\ 2x+6=0 \Longrightarrow x=-3\\ \end{array}\right. \end{align} Note que en este ejemplo no se escribión la division del polinomio entre \(a\) como en los ejemplos anteriores por ser esto irrelevante.

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Solución 1: las raíces de la ecuación son los valores que la hacen verdadera. \(49x^2-3\) tiene la forma de una diferencia de cuadrados \(u-v=(\sqrt{u}+\sqrt{v})(\sqrt{u}-\sqrt{v})\) de donde las racices se obtienen en la manera, \begin{align} &49x^2-3=0\\ &\left(7x+\sqrt3\right)\left(7x-\sqrt3\right)=0\\ &\left\{\begin{array}{l}7x+\sqrt3=0\Longleftrightarrow x=-\frac{\sqrt3}7 \\7x-\sqrt3=0\Longleftrightarrow x=\frac{\sqrt3}7\end{array}\right.\end{align}

Solución 2: note que la expresión \(16x^2-25=0\) es una diferencia de cuadrados cuya forma de factorización es \(u-v=(\sqrt{u}+\sqrt{v})(\sqrt{u}-\sqrt{v})\) de donde se tiene. \begin{align} &16x^2-25=(\sqrt{16x^2}+\sqrt{25})(\sqrt{16x^2}-\sqrt{25})=0\\ &16x^2-25=(4x+5)(4x-5)=0\\ &\left\{\begin{array}{l} 4x+5=0\Longleftrightarrow x=-\frac54\\ 4x-5=0\Longleftrightarrow x=\frac54\end{array}\right.\end{align}

Solución 3: factorizando la diferencia de cuadrados, en la forma \(u-v=(\sqrt{u}-\sqrt{v})(\sqrt{u}+\sqrt{v}),\) por comparación se obtiene, \begin{align} &\left(\frac{x}{3}-11\right)\left(\frac{x}{3}+11\right)=0\\ &\begin{array}{r l} \frac{x}{3}-11=0&\frac{x}{3}+11=0\\ x-33=0&x+33=0 \\ x=33&x=-33\\ \end{array}\end{align}

Solución 4: la expresión es una diferencia de cuadrado, de donde, \begin{align} &\left(\frac{5x}{4}-\frac{\sqrt5}{9}\right)\left(\frac{5x}{4}+\frac{\sqrt5}{9}\right)=0\\ &\begin{array}{r l} \frac{5x}{4}-\frac{\sqrt5}{9}=0&\frac{5x}{4}+\frac{\sqrt5}{9}=0\\ 36\left(\frac{5x}{4}-\frac{\sqrt5}{9}\right)=0&36\left(\frac{5x}{4}+ \frac{\sqrt5}{9}\right)=0\\ 45x-4\sqrt5=0&45x+4\sqrt5=0\\ 45x=4\sqrt5&45x=-4\sqrt5\\ x=\frac{4\sqrt5}{45}&x=-\frac{4\sqrt5}{45} \end{array} \end{align}

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Solución 1: comience por escribir la forma incompleta como \(ax^2+bx=0\) y luego factorice el factor m.c.d.\begin{align} &x^2-13x=0\\ &x(x-13)=0\\ &{\rm Igualando~a~cero:}\\ &\left\{\begin{array}i x=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\\ x-13=0\Longrightarrow x=-13\end{array}\right. \end{align} Solución2: se escribe incompleta \(ax^2+bx=0\) y luego se factoriza el m.c.d. \begin{align} &4x^2-8x=0\\ &4x(x-2)=0\\ &\left\{\begin{array}{l} 4x=0~~~\Longrightarrow x=0\\ x-2=0~~~\Longrightarrow x=2~~~~\end{array}\right. \end{align} Solución 3: la expresión ya está escrita en la forma \(ax^2+bx=0\) así que se procede a factoriazar la diferencia de un binomio. \begin{align} &5x^2-55x=0\\ &5x(x-11)=0\\ &\left\{ \begin{array}{l} 5x=0 \Longrightarrow x=0\\ x-11=0 \Longrightarrow x=11 \end{array}\right. \end{align} Solución 4: la expresión dada es una diferencia de un binomio con un factor comun m.c.d. por tanto, \begin{align} &175x^2-1183x=0\\ &7x(25x-169)=0\\ &\left\{\begin{array}{l} 7x=0 \Longrightarrow x=0\\ 25x-169=0 \Longrightarrow x=169/25 \end{array}\right.\end{align}

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Solución: note que en trinomio primer y tercer término son positivos y el segundo término \(2\sqrt7x=2\sqrt{x^2}\sqrt7\) por tanto la expresión es t.c.p. de donde, \begin{align} &x^2-2\sqrt7x+7=0\\ &\left(x-\sqrt7\right)^2=0\\ &(x-\sqrt7)(x-\sqrt7)=0\\ &\left\{\begin{array}{l} x-\sqrt7=0\Longrightarrow x_1=\sqrt7\\ x-\sqrt7=0\Longrightarrow x_2=\sqrt7 \end{array}\right. \end{align} Lo cual produce dos raíces iguales, como en todos los casos de t.c.p.

Solución: comience por multiplicar la expresión por el m.c.ds. para así tener coeficientes enteros (trabajar con entero es más fácil). \begin{align} &36\left(\frac{3}{4}x^2-\frac{2}{6}x+\frac{1}{36}=0\right)\\ &27x^2-12x+1=0\\ &(27x)^2-12(27x)+27=0 ~~{\rm Reescribiendo}\\ &(27x-9)(27x-3)=0~~~~~~~~{\rm Factorizando}\\ &\left\{\begin{array}{l} 27x-9=0\Longrightarrow x=9/27=1/3\\ 27x-3=0\Longrightarrow x=3/27=1/9 \end{array}\right.\end{align}

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Solución: reescribiendo y factorizando el trinomomio \(ax^2+bx+c=0.\) \begin{align} &(6x)^2-1(6x)-90=0\\ &(6x-10)(6x+9)=0\\ &\left\{\begin{array}1 6x-10=0 \Longrightarrow 6x=10 ~~\therefore~~ x=5/3\\ 6x+9=0 \Longrightarrow 6x=-9 ~~\therefore ~~x=-3/2\\ \end{array}\right.\end{align}

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Solución: se inicia por multiplicar la expresión por el m.c.ds. para quitar las fracciones y luego se resuelve la expresión encontrada. \begin{align} &2\left(x-4\right)\left(x-3\right)\left(\frac{3}{x-4}+\frac{12}{x-3}=\frac{11}{2}\right).\\ &6\left(x-3\right)+24\left(x-4\right)=11\left(x-4\right)\left(x-3\right)\\ &6x-18+24x-96=11\left(x^2-3x-4x+12\right)\\ &30x-114=11x^2-33x-44x+132\\ &11x^2-33x-44x-30x+132+114=0\\ &11x^2-107x+246=0\\ &(11x)^2-107(11x)+11(246)=0\\ &(11x-h)(11x-k)=0~~{\rm Para~}hk=11(246)~~{\rm y}~h+k=107\end{align} Descomponiendo el producto \(11(246)=2706\) en factores primos, \begin{array}{r |l} 11(246)&\\ \hline 246&11\\ \hline 123&2\\ \hline 41&3 \end{array} De donde \(11\times2\times3=66\) y \(41\) cumplen las condiciones para \(hk=11(246)\) y \(h+k=107\) y por tanto, \begin{align} &(11x-h)(11x-k)=0\\ &(11x-66)(11x-41)=0\\ &\left\{\begin{array}{l} 11x-66=0\Longrightarrow x_1=66/11=6\\ 11x-41=0 \Longrightarrow x_2=41/11 \end{array}\right.\end{align}

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Solución: despejando \(x\) en \(\boxed{\textcolor{blue}{2}}\) se tiene \(x=105/6y,\) sustituyendo en \(\boxed {\textcolor{blue}{1}}\) \begin{align} &9\left(\frac{105}{6y}\right)+8y=73\\ &9(105)+6y(8y)=6y(73)\\ &3(105)+2y(8y)=2y(73)\\ &315+16y^2=146y\\ &16y^2-146y+315=0\\ &(16y)^2-146(16y)+16(315)=0\\ &(16y-h)(16y-k)=0~~{\rm para}~~hk=16(315)~ {\rm y}~h+k=146\end{align} Descomponiendo en factores primos el prodcuto \(16(315)\) \begin{array}{r|l} 16(315)&\\ \hline 16&315\\ \hline 5&63\end{array} De donde las cantidades \(h=80\) y \(k=63\) cumplen las condiciones, por tanto, \begin{align} &(16y-80)(16y-63)=0\\ &\left\{\begin{array}{l} 16y-80=0\Longrightarrow y=80/16=5\\ 16y-63=0 \Longrightarrow y=63/16 \end{array}\right.\end{align} Para \(y=5\) como \(x=105/6y\) se tiene, $$x=\frac{105}{6(5)}=\frac{105}{30}=\frac72$$ Lo cual produce el par \((7/2,5)\) que cumple con el sistema dado.
Para \(y=63/16\), $$x=\frac{105}{6\left(\frac{63}{16}\right)}=\frac{16(105)}{6(63)}=\frac{280}{63}$$ De donde se tiene el par \(280/63, 63/16\)

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Sea \(x\) la longitud del lado de la hoja de aluminio en pulgadas.
\begin{align} &\left(x-12\right)\left(x-12\right)6=4704\\ &x^2-24x+144=784\\ &x^2-24x-640=0\\ &\left(x-40\right)\left(x+16\right)=0\\ &\left\{\begin{array}1x-40=0⟺x=40\\x+16=0⟺x=-16\end{array}\right.\end{align} Luego la longitud original era \(l=40\rm{in}\) porque la longitud no puede ser negativa.

Solución: sean \(w\) y \(l\) las dimensiones en centimetro de la lámina, de esto se tiene que,
\begin{align} &lwh=V\\ &(l-6)(w-6)3=504\\ &(lw-6l-6w+36)=504/3\\ &lw-6l-6w+36-168=0\\ &lw-6l-6w-132=0~~~~~~(\textcolor{#ff0080}{1})\end{align}

La expresión anterior es una ecuación con dos variables (más variables que ecuaciones) y por tanto, para resolverla es necesario escribir una de las variables en términos de la otra, de la expresión del área (al cortar el cuadrado) note que se forma un rectángulo vertical de área \((l-6)w\) y dos rectangulos pequeños horizontales de áreas \(3(w-6)\) de donde el área total es: \begin{align} &(l-6)w+2(3(w-6))=324\\ &lw-6w+6w-36=324\\ &lw=360\\ &l=\frac{360}w\end{align} Sustituyendo este valor en \((\textcolor{#ff0080}{1})\) \begin{align} &\left(\frac{360}{w}\right)w-6\left(\frac{360}{w}\right)-6w-132=0\\ &360-\frac{2160}{w}-6w-132=0\\ &360w-2160-6w^2-132w=0\\ &w^2-38w+360=0\\ &(w-20)(w-18)=0\\ &\left\{\begin{array}{l} w_1=20\\ w_2=18 \end{array}\right.\end{align} De donde si el ancho \(w=20{\rm cm}\) el largo \(l=18{\rm cm}\) o viceversa, por tanto las dimensiones de la caja son \(14{\rm cm}\times12{\rm cm}\times3{\rm cm}.\)

Sea \(l\) la longitud del lado del jardín de donde
Costo de la cerca (perímetro) \(+\) costo de las rosas (área) = 96000
\begin{align} &200(4l)+200l^2=96000\\ &800l+200l^2=96000\\ &200l^2+800l-96000=0\\ &l^2+4l-480=0\\ &\left(l+24\right)\left(l-20\right)=0\Longrightarrow \left\{\begin{array}1l+24=0⟺l_1=-24\\l-20=0⟺l_2=20\end{array}\right.\end{align} Luego la respuesta es \(l=20m\) por tanto, si se desea utilizar todo el dinero, la jardinera no se puede construir en un espacio de \(21m \times 19m\).

Sea \(x\) la cantidad de personas que van a la excursión, por tanto, el costo de cada persona es, \(18000/x\) de donde, \begin{align} &\frac{18000}{x-3}=\frac{18000}{x}+300\\ &x\left(x-3\right)\left(\frac{18000}{x-3}\right)=x\left(x-3\right)\left(\frac{18000}{x}+300\right)\\ &18000x=18000(x-3)+300x(x-3)\\ &18000x=18000x-54000+300x^2-900x\\ &0=-54000+300x^2-900x\\ &x^2-3x-180=0\\ &\left(x-15\right)\left(x+12\right)=0\Longrightarrow \left\{\begin{array}1x-15=0⟺x=15\\x+12=0⟺x=-12\end{array}\right.\end{align} Luego como el número de personas no puede ser negativo, van quince personas a la excursión.

Sea \(v\) la rapidez del motociclista, de \(d=vt\) se tiene \(v=d/t\), donde \(d\) y \(t\) se miden en kilometros y horas respectivamente. \begin{array}i &{\rm tiempo}&{\rm distancia}&{\rm rapidez}\\ v_1=v~~~~~~~~&t&60km&v=\frac{60}{t}\\ v_2=v+10&t-1&60km&v+10=\frac{60}{t-1} \end{array} Igualando los dos resultados para la rapidez, se tiene, \begin{align} &\left\{\begin{array}1v=\frac{60}{t}\\v=\frac{60}{t-1}\end{array}\right. ⟹\frac{60}{t}=\frac{60}{t-1}-10\\ &{\rm Multiplicando\ por\ el\ m.c.ds.}\ t(t-1)\\ &t\left(t-1\right)\left(\frac{60}{t-1}-10=\frac{60}{t}\right)\\ &60t-10t\left(t-1\right)=60\left(t-1\right)\\ &60t-10t^2+10t=60t-60\\ &60t-10t^2+10t-60t+60=0\\ &-10t^2+10t-60=0\\ &t^2-t-6=0\\ &(t-3)(t+2)=0\\ &\left\{\begin{array}i t-3=0⟹t=3\\ t+2=0⟹t=-2 \end{array}\right.\end{align} Dado que el tiempo no es negativo \(t=-2h\) no es solución, para \(t=3h\) se tiene: $$v=\frac{60}{t}\Longrightarrow v=\frac{60km}{3h}=20\frac{km}{h}$$

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Sean \(w\) y \(l\) el ancho y el largo del jardín en metros.
\begin{align} &\left\{\begin{array}1p:~2w+2l=76\\A:~wl=360~~~~~~~\end{array}\right.\\ &\left\{\begin{array}1p:~w+l=38\\A:~wl=360~~~~\end{array} ~\rm simplificando\right.\end{align} Despejando \(l\) en la primera ecuación \(l=38-w\), sustituyendo este valor en la segundo (el área), \begin{align} &w\underbrace{(38-w)}_{l}=360\\ &38w-w^2=360\\ &w^2-38w+360=0\\ &\left(w-20\right)\left(w-18\right)=0\\ &\left\{\begin{array}1 w-20=0⟺w=20\\ w-18=0⟺w=18\\ \end{array}\right. \end{align} Por tanto, las dimensiones son \(20m\) de largo por \(18m\) de ancho.

Solución: sea \(x\) el ancho de la acera en metros, de los datos se tiene.
área total \(=\) área de la acera \(+\) área del terreno, por tanto, \begin{align} &(20+2x)(16+2x)=460+20(16)\\ &20(16)+40x+32x+4x^2=460+20(16)\\ &4x^2+72x=460\\ &4x^2+72x-460=0\\ &x^2+18x-115=0\\ &(x+23)(x-5)=0\\ &\left\{\begin{array}1 x+23=0 \Longleftrightarrow x=-23\\ x-5=0 \Longleftrightarrow x=5~~~~~\\ \end{array}\right. \end{align} Por tanto el ancho de la acera es cinco metros, ya que una longitud no puede ser negativa.

Solución:

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